Olimpiadas de Matemática Laurent Schwartz

PRUEBA, Primera Etapa

En caso de dificultad para poder rendir la prueba por favor escribir al correo olimpmatuniv@pucp.edu.pe
y su consulta será atendida a la brevedad posible.

Material de preparación

En esta página se añadirá periódicamente material de apoyo para la preparación de los concursantes en las olimpiadas.

Los ejemplos presentados buscan ser una muestra de los temas incluidos y del nivel que se debe alcanzar. No son necesariamente ejemplo de la modalidad de preguntas que se incluirían en la evaluación final de las olimpiadas, ya que, entre otras cosas, en estas preguntas no se pone un límite al tiempo que toma resolverlas

Cuanta información da una balanza

Al usar una balanza de dos brazos pueden ocurrir tres posibles resultados: que un lado de la balanza pese más, que el otro lado pese mas, o que ambos lados pesen lo mismo. Luego, pesando una vez en una balanza de dos brazos se pueden distinguir tres posibilidades, pesando dos veces se pueden distinguir nueve posibilidades y así sucesivamente. Se tienen 12 bolas iguales salvo por el hecho de que una de ellas tiene un peso distinto a las demás. Pruebe que haciendo uso tres veces únicamente de una balanza de dos brazos, es posible identificar a la bola que pesa distinto y saber si pesa más o menos que las demás. -DW-

Solución

Numeremos las bolas de 1 a 12. Denotemos el conjunto de posibilidades (conjunto objetivo) como O₁ = {1_–,1₊,…,12_–,12₊}, donde, por ejemplo 1_– denota 1 es la bola diferente y pesa menos que las demás. Vemos que si reducimos nuestro conjunto objetivo a uno con tres elementos, podemos resolverlo en una pesada. Por ejemplo, para O₃ = {1_–,2_–,2₊}, basta colocar la bola 2 a la derecha de la balanza (D₃ = {2}) y una de las bolas descartadas (denotadas con la letra N) a la izquierda (I₃ = {N}). Para O₃ = {1₊,2_–,3₊}, D₃ = {1} e I₃ = {3}.

Nuestro conjunto objetivo O₁ tiene 24 elementos, luego no se puede resolver el problema en 2 pesadas (9 posibles resultados). Probemos que tres pesadas (27 posibles resultados) bastan. En la primera pesada sólo puede ser #(D₁) = #(I₁) = 4, (# denota número de elementos) pues no ayuda colocar diferente número de bolas a ambos lados de la balanza y, si colocamos 5 en cada lado (o más), llegamos, en caso D₁ e I₁ pesen diferente, a un conjunto objetivo O₂ con 10 elementos, que no se puede resolver en 2 pesadas. Similarmente, si colocamos 3 bolas (o menos) llegamos, en un caso, a #(O₂) = 12.

Sea entonces D₁ = {1,2,3,4} e I₁ = {5,6,7,8}. Si P(D₁) = P(I₁) (P denota peso), el nuevo conjunto objetivo es O₂ = {9_–,9₊,…,12_–,12₊}, el cual se resuelve con D₂ = {9,10,11} e I₂ = {N,N,N} ya que si P(D₂) = P(I₂), O₃ = {12_–,12₊}, si P(D₂) > P(I₂), O₃ = {9₊,10₊,11₊} y si P(D₂) < P(I₂), O₃ = {9_–,10_–,11_–}. También sirve, por ejemplo, D₂ = {9.10} e I₂ = {11,N}, ya que O₃ = {9₊,10₊,11_–}, {9_–,10_–,11₊} o {12_–,12₊}, según que D₂ pese mas, menos o igual a I₂.

Veamos, adicionalmente, el caso P(D₁) > P(I₁) donde O₂ = {1₊,2₊,3₊,4₊,5_–,6_–,7_–,8_–} (P(D₁) < P(I₁) es análogo). En la siguiente pesada debemos dividir este conjunto de 8 posibilidades en conjuntos con #(O₃) = 3, 3 y 2 para los tres posibles resultados. Si dejamos fuera de la balanza 2 bolas, por ejemplo 7 y 8, hay esencialmente dos soluciones: D₂ = {1,2,5} e I₂ = {3,4,6}, que lleva a O₃ = {1₊,2₊,6_–} ó {3₊,4₊,5_–}; y D₂ = {1,2,3,5,6} e I₂ = {4,N,N,N,N}, que lleva a O₃ = {1₊,2₊,3₊}ó {4₊,5_–,6_–} (aparte de O₃ = {7_–,8_–}, naturalmente). Si dejamos fuera de la balanza a 4, 7 y 8, por ejemplo, tenemos soluciones análogas: D₂ = {1,2,5} e I₂ = {3,6,N} que lleva a O₃ = {1₊,2₊,6_–} ó {3₊,5_–}; y D₂ = {1,2,5,6} e I₂ = {3,N,N,N} que lleva a O₃ = {1₊,2₊}ó {3₊,5_–,6_–}. Las demás soluciones son esencialmente equivalentes a estas.

Sistemas lineales

Sea

a11x1 + ⋅⋅⋅+ a1nxn = 0 .. .. .. . . . ak1x1 + ⋅⋅⋅+ aknxn = 0

un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros a_ij y tal que k < n. Demuestre que existe al menos una solución del sistema con x₁,x₂,…,x_n enteros y al menos uno de ellos diferente de cero. -RR-

Solución

Podemos suponer que las k ecuaciones son linealmente independientes ya que, si l de ellas fueran linealmente dependientes de las k–l restantes, cualquier solución del sistema formado por éstas k–l ecuaciones sería también solución de las l ecuaciones dependientes de manera trivial. Supongamos que k > 0 (si tuviéramos k = 0 luego de la reducción anterior, todos los coeficientes serían 0 y cualesquiera x₁,…,x_n reales serían solución). El sistema de ecuaciones se puede escribir como Ax = 0, con A la matriz n × k formada por los coeficientes a_ij. Sabemos que en toda matriz el número de filas linealmente independientes (l.i.) es igual al número de columnas l.i. Como A tiene k filas l.i. podemos seleccionar k columnas

( a1n) ( a1n ) | . 1| | .k| ( .. ) ⋅⋅⋅( .. ) akn1 aknk

l.i. de A para escribir el sistema como:

a1n1xn1 + ⋅⋅⋅+ a1nkxnk = b1 ... ... ... akn1xn1 + ⋅⋅⋅+ aknkxnk = bk

donde hemos reemplazado las demás variables por 1 y -b_i es la suma de sus coeficientes en la ecuación i-ésima. Este sistema es no singular y por lo tanto tiene solución única. La solución x_n₁,…,x_{n_k} es racional, ya que es resultado de aplicar operaciones elementales de fila a los coeficientes que son enteros (esto también se puede ver al expresar la solución como cociente de determinantes de los coeficientes por medio de la regla de Cramer). Esto nos da una solución del sistema original con x_n₁,…,x_{n_k} racionales y las variables restantes iguales a 1. Multiplicando esta solución por su denominador común obtenemos la solución buscada.

Segunda solución: La matriz de los coeficientes del sistema, A, es un operador lineal de $\mathbb{Q}^n$ en $\mathbb{Q}^k$ , con n > k. En dimensión finita se sabe que dim(Dom(A)) = dim(Núcleo(A)) + dim(Im(A)), de donde tenemos dim(Núcleo(A)) = n - k > 0. Luego el núcleo de A es no nulo y contiene puntos de $\mathbb{Q}^n$ distintos de 0. Multiplicando cualquiera de estos puntos por su denominador común se obtiene una de las soluciones buscadas.

Llamadas telefónicas

Entre los modelos probabilísticos más comunes de variables discretas se encuentran el modelo Binomial y el de Poisson. El primero se usa cuando un experimento aleatorio con solo dos posibles resultados (éxito y fracaso) se repite en forma independiente un número n de veces. En tal caso la variable aleatoria X = número de éxitos tiene distribución Binomial(n,p) dada por:

\begin{equation*} P_X(x) = \begin{cases} \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}, &\quad \text{si } x=0,1,\dots,n, \\ 0, &\quad \text{en caso contrario.} \end{cases} \end{equation*}

El segundo modelo aparece al considerar un proceso de Poisson. Se llama proceso de Poisson a un experimento aleatorio que transcurre en el tiempo, en el que se repite un determinado tipo de evento de forma aleatoria, de manera que, en un intervalo de tiempo muy pequeño la probabilidad de que ocurra exactamente un evento es proporcional al tamaño del intervalo (sea ω la constante de proporcionalidad) y la de que ocurran dos o mas eventos es nula. Asimismo, eventos que pertenezcan a intervalos de tiempo disjuntos ocurren de forma independiente. De estas hipótesis se deduce que la variable aleatoria X que mide el número de eventos ocurridos en un intervalo de tiempo de tamaño t tiene distribución Poisson(λ), dada por:

\begin{equation*} P_X(x) = \begin{cases} \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}, &\quad \text{si } x=0,1,\dots \\ 0, &\quad \text{en caso contrario.} \end{cases} \end{equation*}

donde λ = ωt. Vemos que la constante de proporcionalidad ω se mide en unidades 1 ∕ tiempo y se interpreta como la tasa de ocurrencia de los eventos.

Suponga que las llamadas que llegan a una central telefónica lo hacen según un proceso de Poisson con una tasa de 3 llamadas por hora. Debido a problemas en la central suponga que existe una probabilidad p > 0 de que cualquiera de estas llamadas no sea atendida. Halle, en función de p, la probabilidad de que exactamente la mitad de las llamadas que llegan a la central en un día cualquiera no sean atendidas. -LV-

Solución

Sea X = Número de llamadas que llegan en un día e Y = Número de llamadas que llegan en un día y no son atendidas. Tenemos ω = 3h^–1, λ = 3x24 = 72 y X ~ Poisson(72). Por otro lado, la probabilidad de que de X = x llamadas recibidas, Y no sean atendidas corresponde a una distribución binomial Binomial(x,p). Luego

\begin{equation*} \begin{split} \pr(X=x, Y=y) &=\pr(Y=y|X=x)\pr(X=x) \\ &= \begin{cases} \binom{x}{y}p^y(1-p)^{x-y}\frac{72^xe^{-72}}{x!}, & \text{ si } y=0,1,\dots,x \text{ y } x=0,1,\dots \\ 0, & \text{en caso contrario.} \end{cases} \end{split} \end{equation*}

Así, la probabilidad pedida es

\begin{equation*} \begin{split} \pr(X=2,Y=1)+\pr(X=4,Y=2)+\dots &=\sum_{y=1}^\infty\binom{2y}{y}[p^y(1-p)^{2y-y}]\frac{72^{2y}e^{-72}}{(2y)!} \\ &=e^{-72}\sum_{y=1}^\infty\frac{u^y}{(y!)Â²}\,, \end{split} \end{equation*}

donde u = 5184p(1– p).

Nota: De hecho, la serie anterior es igual a I₀(2 √u- ) – 1, donde I₀ es la función de Bessel modificada de primera especie.

Máximos de funciones

Si ρ(x) = x- [x], [x] ≤ x < [x] + 1, [x] Z, es la función parte fraccionaria y α ]0,1], hallar el máximo de la función

hα(x) = x-ρ(α)[1 - ρ(α)] α x x

para x [0,1]. -JA-

Solución

Asumimos h_α(0) = 0 (extendiendo por continuidad). En puntos x donde α∕x es entero (posibles discontinuidades), los límites laterales son: lim_y↗xh_α(y) = x
α [lim_y↗x( α
y )– α
x ][1–lim_y↗x( α
y )+ α
x ] = 0 y lim_y↘xh_α(y) = 0; como además h_α(x) = 0, h_α es continua y entonces tiene máximo en [0,1].

[ α] α- -α--- α- x = n ⇔ n ≤ x < n + 1 ⇔ n+ 1 < x ≤ n.

Luego, en ] α
n+1 , α
n [,

( )( ) 2 hα(x) = x- α-- n 1 + n- α- = 1 - nx-- α-+ 2n- n-x-, α x x α x α

′ n+-n2- α- ′′ 2α- hα(x) = - α + x2 y hα(x) = - x3 < 0,

de donde, h_α tiene un máximo local en x = α
√n+n2- ] α
n+1 , α
n [. En este punto

(∘ -------- ) ( ∘--------) hα(x) = ∘--1----- n(n+ 1)- n 1+ n - n (n + 1) n(n +1) √----- √ -2 -√----1------- = ( n + 1- n) = ( n + 1+ √n-)2 ,

que es decreciente respecto a n. Por otro lado, si x

]α,1], [

] = 0 y h_α(x) =

(1–

) = 1–

, con máximo = 1–α en x = 1. Luego el máximo global es 1–α y se alcanza en 1 si 1–α > ( √ -
2

–1)², o equivalentemente si α < 2( √-
2

– 1). Si α > 2( √ -
2

– 1) el máximo global es 3 – 2 √ -
2

y se alcanza en α√2-

(caso n = 1 arriba). Si α = 2( √2-

– 1) hay dos máximos globales, en α√--
2

y en 1.

Matriz especial

Pruebe que toda matriz n × n simétrica, con n impar, tal que en cada fila aparecen los números del 1 al n, siempre tendrá en su diagonal principal todos los números del 1 al n. -JB-

Solución

Por contradicción. Si faltara alguno de los números del 1 al n en la diagonal éste aparecería en la matriz un número par de veces (igual número de veces sobre la diagonal que debajo de ella, por ser simétrica). Pero esto es una contradicción, pues debe aparecer un número impar de veces (una vez en cada fila).

Choques de muchas bolas

Un choque elástico es aquel en el que la energía cinética total del sistema se mantiene igual antes y después del choque. Pruebe que en el choque frontal elástico que se ilustra, de cinco bolas alineadas contra tres bolas quietas y también alineadas el resultado final es simétrico: tres bolas quietas y alineadas y cinco bolas alineadas moviéndose con la misma velocidad de las bolas incidentes. -GP-

Observación: Se debe asumir que en una escala muy pequeña las bolas no se tocan inicialmente. En otras palabras, las bolas vecinas se encuentran inicialmente separadas por una distancia δ > 0, y los choques de pares de bolas duran un tiempo muy corto t ≤ 2δ∕v, donde v es la velocidad inicial de las bolas incidentes.

PICT

Diámetro de un conjunto

Sean A,B,C ² con |A - B| = |B - C| = |C - A| = 3 y considere el triángulo equilátero

Δ = {x ∈ ℝ2 : x = rA + sB +tC, r,s,t ∈ ℝ, r+ s + t = 1}

Para i = A,B,C,considere los discos abiertos:

Di = {x ∈ ℝ2 : |x - i| < 2}

Demuestre que $Δ ⊂ DA ∪ DB ∪ DC$ .
Sea δ = 2 - , demuestre que todo conjunto $k ⊂ Δ$ con diámetro < δ está contenido en alguno de los discos D_A, D_B o D_C.
¿Es posible demostrar esto último para algún δ < 2 - ? -RR-

Observación: La idea de diámetro de un conjunto es que sea la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera del conjunto. Pero la mayor distancia puede no existir, como en el caso del conjunto [0,1[⊂ . Las mayores distancias se alcanzan entre el 0 y puntos cercanos al 1, por ejemplo d(0,1 - $\epsilon$ ) = 1 - $\epsilon$ , $\epsilon$ > 0. Sin importar cuan pequeño sea $\epsilon$ esta distancia es menor a 1. Sin embargo, podemos acercarnos a 1 tanto como queramos escogiendo $\epsilon$ cercano a 0, por lo que es natural decir que el diámetro de este conjunto es 1. Esta situación es común para conjuntos que no tienen toda su frontera. Es por esto que el diámetro se define como el supremo o el límite superior de las distancias entre pares de puntos del conjunto. Así, por ejemplo, el diámetro del cuadrado abierto {(x,y) ² : |x| < 1,|y| < 1} es 2 √2- .

Raíces de derivadas de polinomios

Sea

P(x) = x3 +αx2 + βx + γ = (x- p)(x- q)(x- r)

un polinomio complejo de tercer grado, con raíces p, q y r ℂ y sea

P ′(x) = 3x2 +2αx + β

su derivada. Prueba que las raíces de P^′(x) se encuentran dentro del triángulo formado por p, q y r.

Un caso sencillo ocurre si el triángulo es equilátero. En tal caso podemos escribir p = B + a, q = B + aω y r = B + aω², donde B es el baricentro del triángulo, a = p - B y ω = eⁱ = $1 √3- - 2 + i 2$ (la multiplicación por ω tiene el efecto de una rotación de 120 grados en sentido antihorario). Es fácil probar entonces que las dos raíces de P'(x) coinciden con B.
En el caso general podemos proceder por contradicción. Sea u una raíz de P'(x) que se encuentra fuera del triángulo formado por p, q y r. Encuentra un cambio de variable z = cx + b (esencialmente rotación y traslación) que transforme a p, q y r en números complejos con parte imaginaria ≥ 0, y a u en otro con parte imaginaria negativa. Usando esto hay que probar que

$[ ] 1P-′(u)= 1 --1--+ -1---+ -1--- cP (u) c u - p u- q u- r$

tiene parte imaginaria positiva, lo cual está en contradicción con P'(u) = 0. -JZ-

Nota: Esta propiedad se generaliza para cualquier polinomio complejo de grado ≥ 1 (i.e. las raíces de su derivada se encuentran dentro del menor conjunto convexo formado por las raíces del polinomio original) y la demostración de esta versión más general sigue las mismas ideas de ii.

Linea que pasa por dos móviles

Si dos partículas se mueven en el plano con velocidades (1,1) y (-1,1), pasando al tiempo 0 por los puntos (1,1) y (-1,1), respectivamente, ¿cuál es el conjunto de puntos barridos por la recta que pasa a través de las posiciones de las dos partículas?

Tiempo en bajar escaleras

Un demonio de cierta tradición popular desciende las escaleras dando pasos al azar, de forma que el siguiente escalón que pisa se escoge uniformemente (con igual probabilidad) entre los escalones que le quedan por bajar. ¿Si cada paso le toma 1 segundo, cuanto demora en promedio en bajar una escalera de n escalones? -GP-

Revisión de Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t), íntimamente relacionada con la transformada de Fourier, es conocida por su utilidad en gran número de aplicaciones y está definida como función de s, como sigue:

∫ ∞ -st L {f(t)}(s) = 0 e f (t)dt,

para todos los valores de s para los que la integral exista (un conjunto del tipo ]s₀,∞[). {f(t)} (s) también se denota como F(s). Claramente es una operación lineal.

Para funciones f seccionalmente continuas (continuas, salvo discontinuidades de salto en puntos separados), {f(t)} (s) existe para todo s > a, si |f(t)|≤ Me^at, para algún M > 0,a (se dice que f tiene crecimiento exponencial).

Sus principales propiedades son:

Si f₁ y f₂ son seccionalmente continuas y de crecimiento exponencial, y y son iguales (con igual dominio) entonces f₁(t) = f₂(t) para t ≥ 0, salvo en puntos de discontinuidad (comunes). Esto permite definir la transformada inversa ^-1(s) para funciones f definidas en [0,∞[, o definidas en pero iguales a 0 en ] -∞,0], por ejemplo.

Si , y están definidas, entonces

$L{f *g(t)} = L {f(t)}L {g(t)} ,$

donde
$∫ t f *g(t) = f(τ )g(t- τ)dτ , 0$
es la convolución de f y g (se cumple $f * g(t) = g *f(t)$ ).

Preguntas:

Deduzca de la anterior propiedad la fórmula

${ ∫ } t F-(s) L 0 f(τ)dτ = s .$
Calcular
${∫ t } L eτsen (t- τ)dτ . 0$
La función escalón unitario o función de Heaviside, denotada por (t-a) está definida como

${ U(t- a) = 0, 0 ≤ t < a, 1, t ≥ a.$
1. Demostrar que (t - a) = .
2. Demostrar que
  $- as L{g(t)U (t- a)} = e L {g(t+ a)}.$
3. Escribir la función
  ${ f(t) = t2, 0 ≤ t < 3π∕2, sent, t ≥ 3π∕2,$
  
  en términos de funciones escalón unitario, y calcular su transformada de Laplace.
Una transformada muy útil es
$n at --n!--- L{t e } = (s- a)n$

deduzca esta fórmula para usarla en la siguiente pregunta.
Resolver la siguiente ecuación integral para f(t),
$2 - t ∫ t t-τ f(t) = 3t - e - 0 f (τ)e dτ ,$

Para ello encuentre la transformada de f al aplicando a ambos lados de la ecuación e identificando f por su transformada.
Deduzca una fórmula para en términos de .

Circuito LRC en serie. En un circuito en serie o de lazo simple, la segunda ley de Kirchoff afirma que la suma del voltaje que decae a través de un inductor, resistor y condensador, es igual al voltaje ejercido E(t). Se sabe que los voltajes que decaen a través de un inductor, resistor y condensador son respectivamente
$di 1 ∫ t L--, Ri(t), y -- i(τ )dτ, dt C 0$

donde i(t) es la corriente, y L,R y C son constantes. Así, la corriente de un circuito LRC en serie satisface la ecuación integro-diferencial
$di 1 ∫ t L dt + Ri(t)+ C i(τ)dτ = E(t). 0$

Hallar la corriente i(t) cuando L = 0.1 h, R = 2Ω, C = 0.1 f, i(0) = 0, y el voltaje ejercido es E(t) = 120t - 120t(t - 1). -RA-

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